【简易理解】自然常数的计算公式、对数函数的导数公式的推导

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• 函数导数的概念
• 链式法则
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Part 1 为什么等于

假设有这样一个函数：，这个函数可以在现实生活中找到很多应用场景，比如活期存款（默认初始量为1）、在不考虑资源限制情况下的细菌繁殖（默认初始量为1），在这种情况下 就代表了 或者 ，而 则代表了 或 。

那么，有没有一个确切的的值，能够使存款或细菌在短期的增长速度等于它们的量？

若需要表示存款或细菌在短期的增长速度，也就是在短期变化量与变化时间之商，我们可以先进行类似于求导的过程，但不必把具体的公式求出来（这里粗体字的意义是相同的）。不妨先看看一个周期下的变化量：即

这个结果在细菌繁殖的问题中已经足够用了，那么活期存款呢？很明显，活期存款中的存款是每时每刻都在变化的，也就是说我们需要引入一个数：，即时间 的变化量并使它无穷接近于零（在上一个例子中，显然），来表示一瞬间的时间变化，相应的，有了先前的经验，一瞬间的函数值变化就应该等于将这个结果再除以一瞬间的时间变化就是在第周期那一瞬间，函数值变化的速度：

虽然求导进行到一半，但是已经足够解答一开始的问题了。在第周期，函数值为，如果他们相等，那么应该满足如下关系：

现在可以引入一个新的，仅用于使公式更好看的常量，使或者说趋于无穷大。那么这个公式可以改写成取一些极大的数代入，发现的值随的增大越来越趋近于，所以我们对上面一道题给出的答案就是

恭喜，问题解决。而这个值，被大家熟知为，其能够被表示为且满足。我们似乎可以动身下一个问题了。

Part 2 为什么等于

我们已经知道（我已经假设过你知道了），的意思是求是的多少次方，所以我们可以发现，所以理应等于。接下来，我们需要得到另外一个表示方法，构建一个等式，不妨通过链式法则将展开：

再将之前计算得的代入，得

又证毕了，真是太爽了！

Part 3 为什么等于

这个问题比前面的都简单，能独立思考最好。

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Part 4 学习完成！

第1部分的部分灵感来自3blue1brown，有空的话可能会试着用manim做一个讲解视频发布在b站。