【简易理解】自然常数的计算公式、对数函数的导数公式的推导

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本文章可能能够解答如下问题

通过$\left(e^{x}\right)’=e^{x}$看

  • $e$为什么等于$\lim \limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$
  • $\ln\left(x\right)’$为什么等于$\frac{1}{x}$
  • $\log_{a}\left(x\right)’$为什么等于$\frac{1}{\ln\left(a\right)x}$

本文章可能需要以下知识储备

  • 函数导数的概念
  • 链式法则
  • 对对数函数的基本了解

另请注意

  • 文章作者初二,可能出现概念错误
  • 出现概念错误敬请指正
  • 有看不懂的地方敬请说出

Part 1 $e$为什么等于$\lim \limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$

假设有这样一个函数:$f\left(x\right)=a^{x}$,这个函数可以在现实生活中找到很多应用场景,比如活期存款(默认初始量为1)、在不考虑资源限制情况下的细菌繁殖(默认初始量为1),在这种情况下 $a$ 就代表了 $1+利率$ 或者 $1+分裂个数$ ,而 $x$ 则代表了 $周期数$ 或 $时间$。

那么,有没有一个确切的$a$的值,能够使存款或细菌在短期的增长速度等于它们的量?

若需要表示存款或细菌在短期的增长速度,也就是在短期变化量与变化时间之商,我们可以先进行类似于求的过程,但不必把具体的公式求出来(这里粗体字的意义是相同的)。不妨先看看一个周期下的变化量:$$下个周期的量-本周期的量$$即$$a^{x+1}-a^{x}$$

这个结果在细菌繁殖的问题中已经足够用了,那么活期存款呢?很明显,活期存款中的存款是每时每刻都在变化的,也就是说我们需要引入一个数:$Δx$,即时间 $x$ 的变化量并使它无穷接近于零(在上一个例子中,显然$Δx=1$),来表示一瞬间的时间变化,相应的,有了先前的经验,一瞬间的函数值变化就应该等于$$a^{x+Δx}-a^{x}$$将这个结果再除以一瞬间的时间变化就是在第$x$周期那一瞬间,函数值变化的速度:$$\frac{a^{x+Δx}-a^{x}}{Δx}$$

虽然求导进行到一半,但是已经足够解答一开始的问题了。在第$x$周期,函数值为$a^{x}$,如果他们相等,那么应该满足如下关系:$$a^{x}=\frac{a^{x+Δx}-a^{x}}{Δx}$$$$Δx=\frac{a^{x+Δx}-a^{x}}{a^{x}}$$$$Δx=a^{Δx}-1$$$$Δx+1=a^{Δx}$$$$(Δx+1)^{\frac{1}{Δx}}=a$$

现在可以引入一个新的,仅用于使公式更好看的常量$n$,使$n=\frac{1}{Δx}$或者说趋于无穷大。那么这个公式可以改写成$$a=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$$取一些极大的数代入$n$,发现$a$的值随$n$的增大越来越趋近于$2.71828 18284 59045 23536 ……$,所以我们对上面一道题给出的答案就是$2.71828 18284 59045 23536 ……$

恭喜,问题解决。而这个值,被大家熟知为$e$,其能够被表示为$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$且满足$\left(e^{x}\right)’=e^{x}$。我们似乎可以动身下一个问题了。

Part 2 $\ln\left(x\right)’$为什么等于$\frac{1}{x}$

我们已经知道(我已经假设过你知道了),$\ln\left(x\right)$的意思是求$x$是$e$的多少次方,所以我们可以发现$e^{\ln\left(x\right)}=x$,所以$(e^{\ln\left(x\right)})’$理应等于$1$。接下来,我们需要得到另外一个表示方法,构建一个等式,不妨通过链式法则将$(e^{\ln\left(x\right)})’$展开:$$(e^{\ln\left(x\right)})’=e^{\ln\left(x\right)}\cdot\ln\left(x\right)’=x\cdot\ln\left(x\right)’$$

再将之前计算得的$(e^{\ln\left(x\right)})’=1$代入,得$$x\cdot\ln\left(x\right)’=1$$$$\ln\left(x\right)’=\frac{1}{x}$$

又证毕了,真是太爽了!

Part 3 $\log_{a}\left(x\right)’$为什么等于$\frac{1}{\ln\left(a\right)x}$

这个问题比前面的都简单,能独立思考最好。

查看提示

链式法则也许还能帮到忙

查看进一步提示

$\log_{a}\left(x\right)=\log_{a}\left(b\right)\log_{b}\left(x\right)$

查看进一步提示

$e=b$

查看具体解题步骤 $$\log_{a}\left(x\right)=\log_{a}\left(e\right)\ln\left(x\right)$$ $$\log_{a}\left(x\right)’=[\log_{a}\left(e\right)\ln\left(x\right)]’=\log_{a}\left(e\right)\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{\ln\left(a\right)x}$$

Part 4 学习完成!

第1部分的部分灵感来自3blue1brown,有空的话可能会试着用manim做一个讲解视频发布在b站。

本文作者:MineCreeper86
本文采用 CC BY-NC-SA 4.0 协议
如无特别说明,允许转载,必须注明出处
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评论

  1. victim
    1月前
    2022-8-30 17:13:01

    感觉好难懂

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